В 12 лет Эдинсон переехал в Монтевидео, где его взяли в молодёжную команду клуба «Данубио». В основной команде он дебютировал в 2006 году и выиграл с клубом Чемпионат Уругвая.

В января 2007 года был вызван в молодёжную сборную Уругвая, чтобы сыграть в Чемпионате Южной Америки среди молодёжных сборных. Кавани стал лучшим бомбардиром турнира с 7 мячами в 9 матчах, а сборная заняла 3-е место. После такого достижения игроком заинтересовались некоторые ведущие клубы Европы, такие как «Ювентус» и «Милан». 29 января 2007 года президент «Палермо» Маурицио Дзампарини объявил о подписание многообещающего уругвайского футболиста. Кавани дебютировал 11 марта 2007 года в домашнем матче против «Фиорентины», выйдя на замену на 55-ой минуте пятнадцать минут спустя отметился первым голом в лиге.

6 февраля 2008 года он сделал сыграл свой первый матч за взрослую сборную Уругвая против Колумбии и сразу же забил свой первый гол.

В феврале 2010 года Кавани выразил желание покинуть «Палермо» и перейти в «Ювентус» или «Челси». Несмотря на это, в марте 2010 года Кавани продлил договор с «Палермо» до 2014 года с ежегодной заработной платой в 1 млн евро. Согласно контракту, если другой клуб примет решение выкупить контракт игрока, он будет вынужден выплатить сумму в 25 млн евро. В мае 2010 года казанский «Рубин» и донецкий «Шахтёр» сделали предложения о покупке Кавани. В июне 2010 года английский клуб «Манчестер Сити» предложил за переход Кавани 19 млн евро. 29 июня Дзампарини объявил, что Кавани, вместе с партнёром по команде, Симоном Кьяром, переходит в клуб «Тоттенхэм Хотспур», заплативший за трансфер обоих футболистов 35 млн евро. Руководство английского клуба опровергло слова Дзампарини.

17 июня 2010 года президент «Наполи» Аурелио Де Лаурентис объявил о переходе Кавани в ряды неаполитанcкого клуба. Игрок взят в годичную аренду у «Палермо» за 5 млн евро с правом последующего выкупа за 12 млн. Личный контракт уругвайского нападающего подписан до 2015 года с ежегодной зарплатой 1,35 млн. € без учёта различных бонусов. В новой команде уругваец сразу стал забивать: в первых трёх турах серии А он забил по голу.