Сын бразильского футболиста Жерардо дос Сантоса по прозвищу Зизиньо, который в 1980-х годах выступал в чемпионате Мексики и женился на мексиканке. Джованни — воспитанник футбольной школы «Барселоны». В чемпионате Испании дебютировал 2 сентября 2007 года, на 62-й минуте матча с «Атлетиком», заменив Тьерри Анри. В своём дебютном сезоне в Примере сыграл 28 матчей и забил 3 гола (все три гола были забиты 27 мая 2008 года в матче последнего тура с «Мурсией»).

6 июня 2008 года «Барселона» объявила о продаже дос Сантоса в английский «Тоттенхэм Хотспур». Сумма трансфера составила €6 млн и может быть увеличена ещё на €5 млн, если дос Сантос будет регулярно выходить на поле. Контракт Джованни рассчитан на 5 лет. Если «Тоттенхэм Хотспур» решит продать его в другой клуб в ближайшие два года, «Барселона» получит 20 процентов выручки и 10 процентов, если это произойдет позже. 29 января 2010 «Галатасарай» приобрёл его на правах аренды с правом выкупа.